By G. Doetsch
ISBN-10: 3034859694
ISBN-13: 9783034859691
ISBN-10: 3034859708
ISBN-13: 9783034859707
Der vorliegende Band III bildet mit dem früher erschienenen Band II ein Ganzes, used to be auch äusserlich dadurch zum Ausdruck kommt, dass die Teile und Kapitel anschliessend an die von Band II weiternumeriert sind. Gegenüber der früheren Darstellung in meiner Monographie ~Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation» von 1937 hat sich auch in diesem. Band der Stoff auf allen Gebieten stark ausgeweitet. Manches ist ausführlicher dargestellt, anderes ganz neu hinzugekommen, wie die Kapitel über partielle Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten, Kompatibilitätsbedingungen für Randwertprobleme, Differenzengleichungen, Integralgleichungen im unendlichen Intervall, verschie dene mit Laplace-Transformation lösbare Integralgleichungen und ganze Funk tionen vom Exponentialtypus. Letztere bieten ein schier unerschöpfliches Feld für Anwendungen der Laplace-Transformation, und die dargestellten Unter suchungen möchten zu weiteren Forschungen auf diesem Gebiet anregen. Bei den Funktionalgleichungen sei besonders auf die Differenzengleichungen verwiesen, deren Behandlung mit Laplace-Transformation hier zum erstellmal in Buchform vollständig dargestellt ist. An Hand der Theorie der Kettenleiter, der Schrittregler und ähnlicher Probleme ist in letzter Zeit in der Technik ein neu es Interesse an den Differenzengleichungen erwacht, und für die hier vorliegenden Fragen dürfte insbesondere das 22. Kapitel brauchbare Methoden liefern.
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Da a = L C*,O sein soll, sind die beiden ersten Möglichkeiten auszuschliessen. Der Fall b = c = 0 bedeutet also, dass Widerstand und Ableitung zu vernachlässigen sind, d. h. dass die Leitung verlustfrei ist. Es ist jetzt VQ(s) = (Va> 0), Vas so dass das einzelne Glied in uo(x, s) die Gestalt e- rxs (IX ~ 0) hat. Ihm entspricht keine Originalfunktion, wohl aber dem Produkt ao(s) e- rxs nach Regel III die Funktion Ao(t - IX), wenn man Ao(t) = für t ~ definiert. Falls die gliedweise Rücktransformation erlaubt ist, ergibt sich somit zu (9) die Originalfunktion E A o(t 00 (13) mit U(x, t) = (2 nll + x) "'1=0 Ao(t) = ° Va) - ° ° E A o(t - (2 n 2 l - x) 00 Va) "..
Da <5(t) und seine Ableitungen für t > 0 gleich 0 sind, erklärt es sich, dass bei den Lösungen, die diesen Randerregungen entsprechen (U o und seine Ableitungen) als Randwert für x -+ +0 bei t > 0 der Wert 0 herauskommt. Da die Physik es oft mit Erscheinungen von explosionsartigem Charakter zu tun hat, sind für sie die oben angegebenen singulären Lösungen (die auch als Greensehe Funktionen angesprochen werden können) und damit auch die Auffassung der Randwerte im Sinne der allgemeinen Problemstellung unentbehrlich.
7: ~ t - (2l + x) zweimaliger Reflexion bis zur Zeit t an die Stelle x gekommen waren, usw. (siehe Figur 7). Wie früher kann man auch hier verifizieren, dass (20) eine Lösung des Problems darstellt, wenn Ao(t) zweimal differenzierbar ist. Auch bei der Telegraphengleichung gibt es wie bei der Wärmeleitungsgleichung nicht identisch verschwindende Lösungen, für die alle Rand- und Anfangswerte A o , Al' U o' UI verschwinden 24. Man erhält solche, indem man als Randwert A o in (20) die Impulsfunktion b(t) und ihre Ableitungen einführt, d.
Handbuch der Laplace-Transformation: Band 3: Anwendungen der Laplace-Transformation by G. Doetsch
by Daniel
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